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1.行列式的性质

行列式的转置

将行列四D的行与列互换后得到的行列式，称为D的转置行列式，记为D^T或D’。

性质1 将行列式转置，行列式的值不变，即D^T=D.

性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号。

推论 如果行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式的值为零。

说明 由此性质可知，行列式的行具有的性质，它的列也具有。

性质3 用数k乘行列式的某一行（列），等于以数k乘此行列式。

推论1 如果行列式某行（列）的所有元素有公因子，则公因子可以提到行列式外面。

推论2 如果行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值为零。

性质4 将行列式某一行（列）的所有元素同乘以数k后加到另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变。

2. 矩阵

定义；由m*n个数a_ij（i=1,2,..,n）按一定次序排列成的一个m行n列的矩形表，称为一个m行n列的矩阵，简称m*n矩阵，记作

其中，a_ij称为矩阵的第i行第j列的元素。

应注意的问题

n阶矩阵仅仅是由n²个元素排成的一个正方表，而与n阶行列式不同。

一个由n阶矩阵A的元素按原来排列的形式构成的n阶行列式，称为矩阵A的行列式，记作。

矩阵的加法

两个m行n列矩阵A=（a_ij）,B=（b_ij）对应位置元素相加得到的m行n列矩阵，称为矩阵A与矩阵B的和，记为A+B。

乘法的规则：前行后列

矩阵的转置性质：

（1）（A^T）^T=A

（2）（A+B）^T=A^T+B^T

（3）（kA）^T=kA^T

（4）（AB）^T=B^TA^T

单位矩阵的性质

ImAm*n=Am*n，Am*nIn=Am*n

对于n阶矩阵A，规定A⁰=I

单位矩阵I在矩阵乘法中与数1在数的乘法中的性质类似

逆矩阵

对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得

AB=BA=I

I是n阶单位矩阵，那么矩阵A称为可逆矩阵，简称A可逆，并称B为A的逆矩阵。

逆矩阵的性质

（1）若矩阵A可逆，则A^-1也可逆，且（A^-1）^-1=A。

（2）若矩阵A可逆，数k<>0，则kA也可逆，且（kA）^-1=(1/k)A^-1。\

（3）两个同阶可逆矩阵A、B的乘积是可逆矩阵，且

(AB)^-1=B^-1A^-1

（4）若矩阵A可逆，则A的转置矩阵A^T也可逆，且

(A^T )^-1=(A^-1)^T

（5）若矩阵A可逆，则|A^-1|=|A|^-1